Problema 3H.40

Cálculo das constantes de hidrólise de cada íon: $$\ce{K_{\ce{h,a}}}=\frac{\ce{K}_{\ce{w}}}{\ce{K}_{\ce{a}}}$$ $$\ce{K_{\ce{h,a}}}=\frac{\pu{e-14}}{\pu{4,9e-10}}=\pu{2e-5}$$ $$\ce{K_{\ce{h,b}}}=\frac{\ce{K}_{\ce{w}}}{\ce{K}_{\ce{b}}}$$ $$\ce{K_{\ce{h,b}}}=\frac{\pu{e-14}}{\pu{1,8e-5}}=\pu{5,6e-10}$$ Conservando a quantidade de amônia e a quantidade de cianeto: $$\ce{[NH4+]} + [\ce{NH3}]=\pu{0,5}$$ $$\ce{[CN-]} + [\ce{HCN}]=\pu{0,5}$$ Então temos a seguinte relação: $$\ce{[CN-]} + [\ce{HCN}]=\ce{[NH4+]} + [\ce{NH3}]\;\;(i)$$ Observe que ambas as reações possuem constantes de equilíbrio muito pequenas, então podemos fazer a aproximação de que a reação praticamente não acontece, ou seja: $$[\ce{NH4+}]\approx \pu{0,5 mol L-1}$$ $$[\ce{CN-}]\approx \pu{0,5 mol L-1}$$ Usando essa aproximação em (i) chegamos na relação: $$\ce{[HCN]}\approx[\ce{NH3}]$$ Usando a definição de cada constante de equilíbrio: $$\ce{K_{\ce{a}}}=\frac{[\ce{H+}][\ce{CN-}]}{\ce{[HCN]}}$$ $$\ce{K_{\ce{b}}}=\frac{\ce{[NH4+][OH-]}}{\ce{[NH3]}}$$ $$\ce{K_{\ce{w}}}=[\ce{H+}][\ce{OH-}]$$ Vamos manipular essas equações para sumir com a concentração de $\ce{OH-}$ e isolar a concentração de $\ce{H+}$ , ou seja, faça o produto da primeira equação com a terceira e divida pela segunda: $$\frac{\ce{K_{\ce{a}}\ce{K_{\ce{w}}}}}{\ce{K_{\ce{b}}}}=\frac{\ce{[H+]^2}}{1}\frac{\ce{[CN-][NH3]}}{\ce{[HCN][NH4+]}}$$ Usando as aproximações ficamos com: $$\frac{\ce{K_{\ce{a}}\ce{K_{\ce{w}}}}}{\ce{K_{\ce{b}}}}=\frac{\ce{[H+]^2}}{1}\frac{\ce{[CN-][NH3]}}{\ce{[HCN][NH4+]}}$$ $$\ce{[H+]}=\sqrt{\frac{\ce{K_{\ce{a}}\ce{K_{\ce{w}}}}}{\ce{K_{b}}}}$$ Observe que essa expressão não depende da concentração inicial. Cálculo da concentração de $\ce{H+}$: $$\ce{[H+]}=\sqrt{\frac{(\pu{4,9e-10})(\pu{e-14})}{(\pu{1,8e-5})}}$$ $$\ce{[H+]}=\pu{5,2e-10 mol L-1}$$ Cálculo do pH: $$\ce{pH}=-\log[\ce{H+}]$$ $$\ce{pH}=-\log(\pu{5,2e-10})$$ $$\ce{pH}=9,28$$