Problema 3G.35

As composições de equilíbrio são expressas em função de dois avanços de reação $a$ e $b$, e os balanços de carbono e hidrogênio, junto com a pressão total, permitem determiná-los. O cálculo de $K_2$ segue diretamente das pressões parciais no equilíbrio.

A quantidade inicial de água é $n_{\ce{H2O},0} = \pu{108 g}/\pu{18 g//mol} = \pu{6 mol}$. De $P = nRT/V$: $$P_{\ce{H2O},0} = \dfrac{ (\pu{6 mol})(\pu{0,082 atm.L//mol.K})(\pu{488 K}) }{ \pu{10 L} } = \pu{24 atm}$$

Sejam $a$ o avanço da primeira reação e $b$ o da segunda, em termos de pressões parciais. As pressões parciais no equilíbrio são: $$\begin{aligned} P_{\ce{CO}} &= a - b & P_{\ce{CO2}} &= b \\ P_{\ce{H2}} &= a + b & P_{\ce{H2O}} &= \pu{24} - a - b \end{aligned}$$ Da pressão total, $$P_\text{total} = (a - b) + b + (a + b) + (\pu{24} - a - b) = a + \pu{24} = \pu{28,8} \quad\Longrightarrow\quad a = \pu{4,8 atm}$$ De $K_1 = P_{\ce{CO}} P_{\ce{H2}}/P_{\ce{H2O}}$: $$\pu{0,4} = \dfrac{ a^2 - b^2 }{ \pu{24} - a - b } = \dfrac{ \pu{23,04} - b^2 }{ \pu{19,2} - b }$$ Resolvendo, $b = \pu{4,12 atm}$. As pressões parciais no equilíbrio são: $$P_{\ce{CO}} = \pu{0,68 atm}, \quad P_{\ce{CO2}} = \pu{4,12 atm}, \quad P_{\ce{H2}} = \pu{8,92 atm}, \quad P_{\ce{H2O}} = \pu{15,08 atm}$$

$$n_{\ce{H2O}} = \dfrac{ P_{\ce{H2O}}\, V }{ RT } = \dfrac{ (\pu{15,08 atm})(\pu{10 L}) }{ (\pu{0,082 atm.L//mol.K})(\pu{488 K}) } = \boxed{ \pu{3,77 mol} }$$

$$K_2 = \dfrac{ P_{\ce{CO2}}\, P_{\ce{H2}} }{ P_{\ce{CO}}\, P_{\ce{H2O}} } = \dfrac{ (\pu{4,12})(\pu{8,92}) }{ (\pu{0,68})(\pu{15,08}) } = \boxed{ \pu{3,6} }$$

Com todo o carbono consumido, os avanços tornam-se $a' = \pu{2 mol}$ (todo o $\ce{C}$) e $b'$ (a determinar). As quantidades no equilíbrio são $n_{\ce{CO}} = \pu{2} - b'$, $n_{\ce{CO2}} = b'$, $n_{\ce{H2}} = \pu{2} + b'$ e $n_{\ce{H2O}} = \pu{4} - b'$. De $K_2 = n_{\ce{CO2}} n_{\ce{H2}}/(n_{\ce{CO}} n_{\ce{H2O}})$: $$\pu{3,6} = \dfrac{ b'(\pu{2} + b') }{ (\pu{2} - b')(\pu{4} - b') } \quad\Longrightarrow\quad b' \approx \pu{1,45 mol}$$ De $K_1 = (P_{\ce{CO}})(P_{\ce{H2}})/P_{\ce{H2O}}$, com $P_i = n_i RT/V_\text{min}$: $$\pu{0,4} = \dfrac{ (\pu{2} - b')(\pu{2} + b') }{ \pu{4} - b' } \dfrac{ RT }{ V_\text{min} } = \dfrac{ \pu{0,74} \times (\pu{0,082})(\pu{488}) }{ V_\text{min} }$$ $$V_\text{min} = \boxed{ \pu{74 L} }$$