Problema 3D.03

A comparação entre os quatro processos deve ser feita distinguindo grandezas de estado, como energia interna e entropia, de grandezas de caminho, como calor e trabalho. Como o gás ideal hélio sofre expansão isotérmica entre o mesmo estado inicial e o mesmo estado final em todos os casos, as grandezas de estado terão a mesma variação em todos os processos, mas calor e trabalho dependerão do modo como a expansão ocorre.

A energia interna é função de estado. Além disso, para um gás ideal, $$U = U(T)$$ Como os quatro processos são isotérmicos e ocorrem entre os mesmos estados inicial e final, a variação de energia interna é a mesma em todos eles: $$\Delta U = 0$$

A entropia também é função de estado. Como o gás parte de $\pu{1 L}$ e chega a $\pu{10 L}$ na mesma temperatura em todos os casos, a variação de entropia do gás é a mesma nos quatro processos. Para uma expansão isotérmica de gás ideal, $$\Delta S = nR \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)$$ logo, $$\Delta S = (\pu{1 mol})(\pu{8,31 J//K.mol}) \ln\!\left(\dfrac{\pu{10 L}}{\pu{1 L}}\right) \approx \pu{19,1 J.K-1}$$ Esse valor é o mesmo para os quatro processos.

O calor trocado depende do caminho. Como $$\Delta U = Q - W$$ e, para os quatro processos, $$\Delta U = 0$$ segue que $$Q = W$$ Portanto, como os trabalhos são diferentes em cada processo, os calores trocados também devem ser diferentes.

Na expansão contra o vácuo, a pressão externa é nula, então $$W_a = 0$$

Na expansão contra pressão constante de $\pu{2,5 atm}$, $$W_b = P_\text{ext}\Delta V = (\pu{2,5 atm})(\pu{10 L} - \pu{1 L}) = \pu{22,5 atm.L}$$

Na expansão em duas etapas, $$W_c = (\pu{5 atm})(\pu{5 L} - \pu{1 L}) + (\pu{2,5 atm})(\pu{10 L} - \pu{5 L})$$ logo, $$W_c = (\pu{5 atm})(\pu{4 L}) + (\pu{2,5 atm})(\pu{5 L}) = \pu{32,5 atm.L}$$

Na expansão reversível, o trabalho é o máximo possível entre os mesmos estados inicial e final. Portanto, $$W_d > W_c > W_b > W_a = 0$$