Problema 3C.08

A análise das proposições exige comparar dois processos distintos de aquecimento do mesmo gás ideal monoatômico entre as mesmas temperaturas. Como a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, sua variação será a mesma nos dois casos. Já a variação de entropia depende do caminho, sendo diferente para aquecimento isovolumétrico e isobárico.

A energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura. Portanto, $$\Delta U = nC_V\Delta T$$ Como, nos dois cilindros, o gás é aquecido de $\pu{27 \degree C}$ até $\pu{227 \degree C}$, $$\Delta T = \pu{200 K}$$ Logo, a variação de energia interna é a mesma nos dois casos: $$\Delta U = (\pu{1 mol})(\pu{12,5 J//K.mol})(\pu{200 K}) = \pu{2500 J}$$

No primeiro cilindro, o volume é constante. Portanto, $$W = 0$$ e, pela primeira lei da termodinâmica, $$\Delta U = Q$$ No segundo cilindro, o pistão pode se mover, logo o gás realiza trabalho durante a expansão. Assim, parte do calor fornecido é usada para aquecer o gás e parte é usada na realização de trabalho.

No primeiro cilindro, o aquecimento é isovolumétrico. Para esse caso, $$\Delta S = nC_V \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_i}\right)$$ As temperaturas absolutas são $$T_i = \pu{27 \degree C} + \pu{273 K} = \pu{300 K} \qquad\text{e}\qquad T_f = \pu{227 \degree C} + \pu{273 K} = \pu{500 K}$$ Logo, $$\Delta S = (\pu{1 mol})(\pu{12,5 J//K.mol}) \ln\!\left(\dfrac{\pu{500 K}}{\pu{300 K}}\right) = \pu{6,39 J.K-1}$$ Portanto, a variação de entropia no primeiro cilindro é aproximadamente $\pu{+6,4 J.K-1}$.

No segundo cilindro, o aquecimento é isobárico. Como $$C_P = C_V + R$$ tem-se $$C_P = \pu{12,5 J//K.mol} + \pu{8,31 J//K.mol} = \pu{20,8 J//K.mol}$$ Para aquecimento isobárico, $$\Delta S = nC_P \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_i}\right)$$ Logo, $$\Delta S = (\pu{1 mol})(\pu{20,8 J//K.mol}) \ln\!\left(\dfrac{\pu{500 K}}{\pu{300 K}}\right) = \pu{10,6 J.K-1}$$ Portanto, a variação de entropia no segundo cilindro é aproximadamente $\pu{+10,6 J.K-1}$.