Problema 3B.35

A combustão completa do metano em mistura com ar produz $\ce{CO2(g)}$, $\ce{H2O(g)}$, $\ce{O2(g)}$ em excesso e $\ce{N2(g)}$. Como a mistura de entrada é dada na proporção $1:15$ entre metano e ar, pode-se escrever diretamente a reação global usando a composição simplificada do ar como $1:4$. Isso permite obter diretamente a composição final dos gases e, em seguida, calcular a temperatura final por balanço de entalpia.

$$\ce{ CH4(g) + 2 O2(g) -> CO2(g) + 2 H2O(g) }$$

Como $\pu{15 mol}$ de ar contêm $\pu{3 mol}$ de $\ce{O2}$ e $\pu{12 mol}$ de $\ce{N2}$, a reação global é $$\ce{ CH4(g) + 3 O2(g) + 12 N2(g) -> CO2(g) + 2 H2O(g) + O2(g) + 12 N2(g) }$$

Pela equação global, a quantidade total de gases ao final é $$n_\text{produtos} = \pu{1} + \pu{2} + \pu{1} + \pu{12} = \pu{16 mol}$$ Logo, $$x_{\ce{H2O}} = \dfrac{\pu{2 mol}}{\pu{16 mol}} = \boxed{\pu{0,125}}$$

De $\Delta H_\mathrm{r}^\circ = \sum_\text{produtos} n \Delta H^\circ_\mathrm{f} - \sum_\text{reagentes} n \Delta H^\circ_\mathrm{f},$ $$\Delta H_\mathrm{c}^\circ = \Delta H^\circ_{\mathrm{f}, \ce{CO2(g)}} + 2 \Delta H^\circ_{\mathrm{f}, \ce{H2O(g)}} - \Delta H^\circ_{\mathrm{f}, \ce{CH4(g)}}$$ logo, $$\Delta H_\mathrm{c}^\circ = \Big\{ (\pu{-94}) + 2(\pu{-58}) - (\pu{-17}) \Big\}\pu{kcal} = \pu{-193 kcal}$$

De $$H^\circ_{T} = \sum n C_P (T - \pu{298 K})$$ Para os produtos da reação, $$H^\circ_\text{prod} = n_{\ce{CO2}} H^\circ_{T,\ce{CO2}} + n_{\ce{H2O}} H^\circ_{T,\ce{H2O}} + n_{\ce{O2}} H^\circ_{T,\ce{O2}} + n_{\ce{N2}} H^\circ_{T,\ce{N2}}$$

Em $\pu{1700 K},$ $$H^\circ_{\text{prod},\pu{1700 K}} = \Big\{ (\pu{1})(\pu{17,6}) + (\pu{2})(\pu{13,7}) + (\pu{1})(\pu{11,5}) + (\pu{12})(\pu{10,9}) \Big\}\pu{kcal} = \pu{187,6 kcal}$$

Em $\pu{2000 K},$ $$H^\circ_{\text{prod},\pu{2000 K}} = \Big\{ (\pu{1})(\pu{21,9}) + (\pu{2})(\pu{17,3}) + (\pu{1})(\pu{14,1}) + (\pu{12})(\pu{13,4}) \Big\}\pu{kcal} = \pu{231,1 kcal}$$

De $$C_P = \dfrac{\Delta H}{\Delta T}$$ Logo, $$C_{P,\text{prod}} = \dfrac{ H^\circ_{\text{prod},\pu{2000 K}} - H^\circ_{\text{prod},\pu{1700 K}} }{\pu{2000 K} - \pu{1700 K}} = \dfrac{\pu{231,1 kcal} - \pu{187,6 kcal}}{\pu{300 K}} = \pu{0,145 kcal//K}$$

Como o processo é adiabático e ocorre a pressão constante, o calor liberado pela combustão é integralmente absorvido pelos produtos. Portanto, $$H^\circ_{\text{prod},T_\text{final}} = -\Delta H_\mathrm{c}^\circ = \pu{193 kcal}$$

$$\Delta H_{\pu{1700 K} \to T_\text{final}} = H^\circ_{\text{prod},T_\text{final}} - H^\circ_{\text{prod},\pu{1700 K}} = \pu{193 kcal} - \pu{187,6 kcal} = \pu{5,4 kcal}$$

De $Q_P = C_P \Delta T,$ $$T_\text{final} - \pu{1700 K} = \dfrac{\pu{5,4 kcal}}{\pu{0,145 kcal//K}} = \pu{37 K}$$ Logo, $$T_\text{final} = \pu{1700 K} + \pu{37 K} = \boxed{\pu{1737 K}}$$