Problema 3B.14

O volume de gás necessário pode ser obtido em quatro etapas. Primeiro, calcula-se o calor que deve ser absorvido pela água para produzir a variação de temperatura desejada. Em seguida, determina-se a composição molar da mistura e escrevem-se as reações de combustão de cada componente combustível. Depois, calculam-se as entalpias molares de combustão e, com elas, a entalpia molar da mistura. Por fim, obtém-se a quantidade de mistura necessária e converte-se esse valor em volume pela equação dos gases ideais.

A massa de água é $$m_{\ce{H2O}} = \rho V = (\pu{1 g//mL})(\pu{5500 mL}) = \pu{5500 g}$$ Logo, a quantidade de água é $$n_{\ce{H2O}} = \dfrac{m_{\ce{H2O}}}{M_{\ce{H2O}}} = \dfrac{\pu{5500 g}}{\pu{18 g//mol}} = \pu{305,6 mol}$$ O calor absorvido pela água é $$Q_\text{água} = n_{\ce{H2O}} C_p \Delta T = (\pu{305,6 mol})(\pu{75 J//K.mol})(\pu{5 K}) = \pu{114,6 kJ}$$

Como, em gases, a fração em volume coincide com a fração em mol, a fração de metano é $$\pu{100}\% - \pu{40}\% - \pu{25}\% - \pu{10}\% = \pu{25}\%$$ Portanto, as frações molares são: $$x_{\ce{CO}} = \pu{0,40} \qquad x_{\ce{H2}} = \pu{0,25} \qquad x_{\ce{CH4}} = \pu{0,25}$$

$$\begin{aligned} \ce{ CO(g) + 1/2 O2(g) &-> CO2(g) } \\ \ce{ H2(g) + 1/2 O2(g) &-> H2O(l) } \\ \ce{ CH4(g) + 2 O2(g) &-> CO2(g) + 2 H2O(l) } \end{aligned}$$

As entalpias molares de combustão são obtidas por: $$\Delta H_\mathrm{r}^\circ = \sum_\text{produtos} n \Delta H^\circ_\mathrm{f} - \sum_\text{reagentes} n \Delta H^\circ_\mathrm{f}$$

Para o monóxido de carbono: $$\Delta H^\circ_{\mathrm{c},\ce{CO}} = \Delta H^\circ_{\mathrm{f},\ce{CO2(g)}} - \Delta H^\circ_{\mathrm{f},\ce{CO(g)}}$$ logo, $$\Delta H^\circ_{\mathrm{c},\ce{CO}} = \Big\{ \pu{-394} - (\pu{-111}) \Big\}\pu{kJ//mol} = \pu{-283 kJ.mol-1}$$

Para o hidrogênio: $$\Delta H^\circ_{\mathrm{c},\ce{H2}} = \Delta H^\circ_{\mathrm{f},\ce{H2O(l)}}$$ logo, $$\Delta H^\circ_{\mathrm{c},\ce{H2}} = \pu{-286 kJ.mol-1}$$

Para o metano: $$\Delta H^\circ_{\mathrm{c},\ce{CH4}} = \Delta H^\circ_{\mathrm{f},\ce{CO2(g)}} + 2\Delta H^\circ_{\mathrm{f},\ce{H2O(l)}} - \Delta H^\circ_{\mathrm{f},\ce{CH4(g)}}$$ logo, $$\Delta H^\circ_{\mathrm{c},\ce{CH4}} = \Big\{ \pu{-394} + 2(\pu{-286}) - (\pu{-74,8}) \Big\}\pu{kJ//mol} = \pu{-891,2 kJ.mol-1}$$

A entalpia molar de combustão da mistura é $$\Delta H^\circ_{\mathrm{c},\mathrm{mix}} = x_{\ce{CO}} \Delta H^\circ_{\mathrm{c},\ce{CO}} + x_{\ce{H2}} \Delta H^\circ_{\mathrm{c},\ce{H2}} + x_{\ce{CH4}} \Delta H^\circ_{\mathrm{c},\ce{CH4}}$$ Logo, $$\Delta H^\circ_{\mathrm{c},\mathrm{mix}} = \Big\{ \pu{0,40}(\pu{-283}) + \pu{0,25}(\pu{-286}) + \pu{0,25}(\pu{-891,2}) \Big\}\pu{kJ//mol} = \pu{-407,5 kJ.mol-1}$$

O calor absorvido pela água é proveniente da combustão da mistura: $$Q_\text{água} = -n_\text{mix}\Delta H^\circ_{\mathrm{c},\mathrm{mix}}$$ logo, $$n_\text{mix} = \dfrac{\pu{114,6 kJ}}{\pu{407,5 kJ//mol}} = \pu{0,28 mol}$$

De $PV = nRT$, $$V_\text{mix} = \dfrac{n_\text{mix}RT}{P} = \dfrac{(\pu{0,28 mol})(\pu{0,082 atm.L//mol.K})(\pu{298 K})}{\pu{1 atm}} = \boxed{\pu{6,8 L}}$$