Problema 3A.24

Como a mistura final deve conter $\pu{50 \%}$ em massa de $\ce{H2SO4}$ e o tanque é adiabático, o problema é resolvido por três relações independentes: balanço de massa total, balanço de massa de $\ce{H2SO4}$ e balanço de entalpia. Antes disso, é preciso determinar a entalpia específica do gelo em $\pu{0 \degree C}$ no estado de referência adotado.

O estado de referência é a água líquida em $\pu{25 \degree C}$, de modo que $$H_{\ce{H2O(l)},\,\pu{25 \degree C}} = \pu{0 kJ.kg-1}$$

Ao resfriar água líquida de $\pu{25 \degree C}$ até $\pu{0 \degree C}$, $$\begin{aligned} \Delta H &= C_P \Delta T \\ &= (\pu{4 kJ.kg-1.K-1})(\pu{-25 K}) \\ &= \pu{-100 kJ.kg-1} \end{aligned}$$ Logo, $$H_{\ce{H2O(l)},\,\pu{0 \degree C}} = \pu{-100 kJ.kg-1}$$

Como a fusão do gelo em $\pu{0 \degree C}$ é dada por $$\ce{ H2O(s,\pu{0 \degree C}) -> H2O(l,\pu{0 \degree C}) } \qquad \Delta H_\mathrm{fus} = \pu{330 kJ.kg-1}$$ tem-se $$\begin{aligned} H_{\ce{H2O(s)},\,\pu{0 \degree C}} &= H_{\ce{H2O(l)},\,\pu{0 \degree C}} - \Delta H_\mathrm{fus} \\ &= \pu{-100 kJ.kg-1} - \pu{330 kJ.kg-1} \\ &= \pu{-430 kJ.kg-1} \end{aligned}$$

Lendo o gráfico, obtém-se: $$H_{20\%} = \pu{5 kJ.kg-1} \qquad H_{50\%} = \pu{15 kJ.kg-1} \qquad H_{80\%} = \pu{40 kJ.kg-1}$$

Sejam $m_{20}$, $m_{80}$ e $m_\text{gelo}$ as massas da solução $\pu{20 \%}$, da solução $\pu{80 \%}$ e do gelo, respectivamente.

Do balanço de massa total, $$m_{20} + m_{80} + m_\text{gelo} = \pu{1000 kg} \tag{I}$$

Do balanço de massa de $\ce{H2SO4}$, $$\pu{0,20}\,m_{20} + \pu{0,80}\,m_{80} = \pu{500 kg} \tag{II}$$

Como o tanque é adiabático, a entalpia total inicial é igual à entalpia total final: $$\begin{aligned} (\pu{5})\,m_{20} + (\pu{40})\,m_{80} + (\pu{-430})\,m_\text{gelo} &= (\pu{15})(\pu{1000}) \\ \pu{5}\,m_{20} + \pu{40}\,m_{80} - \pu{430}\,m_\text{gelo} &= \pu{15000} \end{aligned} \tag{III}$$

Da Equação $(\mathrm{II})$, $$m_{20} + \pu{4}m_{80} = \pu{2500} \tag{IV}$$

Subtraindo a Equação $(\mathrm{I})$ da Equação $(\mathrm{IV})$, $$\pu{3}m_{80} - m_\text{gelo} = \pu{1500} \tag{V}$$

Resolvendo o sistema formado por $(\mathrm{I})$, $(\mathrm{III})$ e $(\mathrm{V})$, obtém-se $$\begin{aligned} m_{20} &= \pu{476,4 kg} \\ m_{80} &= \pu{505,9 kg} \\ m_\text{gelo} &= \pu{17,7 kg} \end{aligned}$$

Para preparar $\pu{1}$ tonelada de solução $\pu{50 \%}$ em massa de $\ce{H2SO4}$ a $\pu{25 \degree C}$, são necessárias: $$m_{20} = \boxed{\pu{476,4 kg}} \qquad m_{80} = \boxed{\pu{505,9 kg}} \qquad m_\text{gelo} = \boxed{\pu{17,7 kg}}$$