Problema 2K.28

O estrôncio-59 marca os íons $\ce{Sr^2+}$. Como os isótopos são quimicamente idênticos, no equilíbrio a troca isotópica distribui a radioatividade de modo uniforme: a atividade específica (atividade por mol de $\ce{Sr}$) fica igual na solução e na superfície do sólido. A estratégia tem quatro passos: corrigir a atividade total pelo decaimento, obter a atividade retida na superfície, converter essa atividade em quantidade de $\ce{Sr}$ superficial e, por fim, transformar essa quantidade em área pelo modelo cúbico.

A atividade total introduzida no início é $$A_0 = \pu{2100 Bq.cm-3}\times\pu{20 cm3} = \pu{42000 Bq}$$ Após 21 dias, com $t_{1/2} = \pu{50,5 dias}$, o fator de decaimento é $2^{-21/50,5} \approx 0,75$, de modo que a atividade total ainda presente é $$A = \pu{42000 Bq}\times 0,75 = \pu{31500 Bq}$$

O volume total de solução é $\pu{80 cm3} + \pu{20 cm3} = \pu{100 cm3}$, e a atividade que permaneceu na solução no equilíbrio é $$A_\text{sol} = \pu{300 Bq.cm-3}\times\pu{100 cm3} = \pu{30000 Bq}$$ A diferença migrou para os íons $\ce{Sr^2+}$ da superfície: $$A_\text{sup} = A - A_\text{sol} = \pu{31500 Bq} - \pu{30000 Bq} = \pu{1500 Bq}$$

A solução está saturada. De $K_{ps} = [\ce{Sr^2+}]\,(2[\ce{Sr^2+}])^2 = 4\,[\ce{Sr^2+}]^3$, $$[\ce{Sr^2+}] = \left(\frac{\pu{2,50e-9}}{4}\right)^{1/3} = \pu{8,55e-4 mol.L-1}$$ o que dá, em $\pu{100 cm3}$, $n_\text{sol} = \pu{8,55e-4 mol.L-1}\times\pu{0,100 L} = \pu{8,55e-5 mol}$ de $\ce{Sr}$ dissolvido. A atividade específica comum às duas fases é $$a = \frac{A_\text{sol}}{n_\text{sol}} = \frac{\pu{30000 Bq}}{\pu{8,55e-5 mol}} = \pu{3,51e8 Bq.mol-1}$$ e a quantidade de $\ce{Sr}$ na superfície é $$n_\text{sup} = \frac{A_\text{sup}}{a} = \frac{\pu{1500 Bq}}{\pu{3,51e8 Bq.mol-1}} = \pu{4,3e-6 mol}$$

No modelo cúbico, cada unidade $\ce{SrF2}$ ocupa um cubo de aresta $\ell$, com $\ell^3$ igual ao volume por fórmula. Com massa molar $M = \pu{125,6 g//mol}$, $$\ell = \left(\frac{M}{\rho\,N_A}\right)^{1/3} = \left(\frac{\pu{125,6 g//mol}}{\pu{4,24 g//cm3}\times\pu{6,0e23 mol-1}}\right)^{1/3} = \pu{3,67e-8 cm}$$ Cada $\ce{Sr}$ da superfície expõe uma face de área $\ell^2$. A área total exposta e a área específica (por grama de sólido) são $$S = n_\text{sup}\,N_A\,\ell^2 = \pu{4,3e-6 mol}\times\pu{6,0e23 mol-1}\times(\pu{3,67e-8 cm})^2 \approx \pu{3,5e3 cm2}$$ $$S_\text{esp} = \frac{S}{\pu{0,6 g}} = \boxed{\approx\pu{6e3 cm2.g-1}}$$