Problema 2K.27

O samário-147 decai para neodímio-143, que se acumula nos minerais. Usando o neodímio-144, estável e de quantidade fixa, como referência, constrói-se a reta isócrona: a inclinação determinada pelos dois minerais fornece a idade.

O samário-147 perde um número de massa de $4$ e um número atômico de $2$, caracterizando uma emissão $\alpha$: $$\ce{ ^{147}_{62}Sm -> ^{143}_{60}Nd + ^{4}_{2}\alpha }$$

Dividindo as quantidades pelo $\ce{^{144}Nd}$ de referência, cada mineral obedece a $$\frac{\ce{^{143}Nd}}{\ce{^{144}Nd}} = \left(\frac{\ce{^{143}Nd}}{\ce{^{144}Nd}}\right)_{\!0} + \frac{\ce{^{147}Sm}}{\ce{^{144}Nd}}\left(\mathrm{e}^{\lambda t} - 1\right)$$ A inclinação da reta entre os dois minerais é $\mathrm{e}^{\lambda t} - 1$: $$\mathrm{e}^{\lambda t} - 1 = \frac{0,51420 - 0,51100}{0,200 - 0,100} = 0,0320$$ Com $\lambda = \ln 2/t_{1/2} = \pu{6,93e-12 anos-1}$, $$t = \frac{\ln(1,0320)}{\lambda} = \frac{0,0315}{\pu{6,93e-12 anos-1}} = \boxed{\approx\pu{4,5e9 anos}}$$ A idade obtida é compatível com a idade dos meteoritos mais antigos do Sistema Solar, da ordem de $\pu{4,5e9 anos}$.