Nível 2

Suponha que se deseja estimar o volume de água de um pequeno lago. Para isso, dilui-se nesse lago um volume $V_S$ de uma solução de um sal, sendo que a atividade radioativa dessa solução é $A_S$ . Após decorrido um tempo $D$ , necessário para uma diluição homogênea da solução radioativa em todo o lago, é recolhida uma amostra de volume $V_A$ , com atividade $A_A$ acima da atividade original da água do lago. Sabe-se que a meia-vida do sal radioativo é $t_{1/2}$ .

Determine o volume do lago, considerando que $t_{1/2}$ e $D$ são da mesma ordem de grandeza.
Determine o volume do lago, considerando que $t_{1/2}$ é muito maior do que $D$ .

Gabarito

A atividade introduzida no lago se distribui homogeneamente por todo o seu volume. A concentração de atividade na amostra recolhida é, portanto, igual à concentração de atividade em todo o lago. Comparando a atividade total ainda presente com a concentração medida obtém-se o volume.

Etapa 1.(a) Volume com decaimento apreciável.

A solução injetada tem atividade total $A_S$ . Quando $t_{1/2}$ e $D$ são da mesma ordem de grandeza, a atividade decai de forma apreciável durante o tempo $D$ de homogeneização, restando $A_S\,2^{-D/t_{1/2}}$ Essa atividade está distribuída no volume $V_\text{lago}$ , de modo que a concentração de atividade é a mesma da amostra, $A_A/V_A$ : $\frac{A_A}{V_A} = \frac{A_S\,2^{-D/t_{1/2}}}{V_\text{lago}}$ Isolando o volume do lago, $V_\text{lago} = \boxed{\dfrac{V_A A_S}{A_A}\,2^{-D/t_{1/2}}}$

Etapa 2.(b) Volume com decaimento desprezível.

Se $t_{1/2} \gg D$ , o decaimento durante a homogeneização é desprezível e $2^{-D/t_{1/2}} \approx 1$ . Logo, $V_\text{lago} = \boxed{\dfrac{V_A A_S}{A_A}}$