A abundância isotópica dos isótopos urânio-238 e urânio-235 na Terra é de 99,28 %\pu{99,28 \%} e 0,72 %\pu{0,72 \%}, respectivamente. Considere que, no instante de formação da Terra, os isótopos urânio-235 e urânio-238 existiam em proporções iguais.

Determine a idade do planeta Terra.

DadosX235X22235U\ce{^{235}U}X238X22238U\ce{^{238}U}
t1/2/anost_{1/2}/\pu{anos}7,07⋅108\pu{7,07e8}4,50⋅109\pu{4,50e9}
Gabarito
Gabarito

Os dois isótopos decaem com constantes diferentes. O urânio-235, de meia-vida menor, decai mais rápido, e por isso sua abundância caiu muito mais desde a formação da Terra. A razão atual entre as abundâncias, comparada à razão inicial (igual a 11), fornece a idade.

Etapa 1.Escreva a razão entre as quantidades dos isótopos.

Cada isótopo segue N=N0 e−λtN = N_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}. Como partiram de quantidades iguais (N0,235=N0,238N_{0,235} = N_{0,238}), N235N238=e−(λ235−λ238) t \frac{N_{235}}{N_{238}} = \mathrm{e}^{-(\lambda_{235} - \lambda_{238})\,t}

Etapa 2.Calcule as constantes de decaimento.

Com λ=ln⁡2/t1/2\lambda = \ln 2/t_{1/2}, λ235=ln⁡27,07⋅108 anos=9,80⋅10−10 anos−1λ238=ln⁡24,50⋅109 anos=1,54⋅10−10 anos−1 \lambda_{235} = \frac{\ln 2}{\pu{7,07e8 anos}} = \pu{9,80e-10 anos-1} \qquad \lambda_{238} = \frac{\ln 2}{\pu{4,50e9 anos}} = \pu{1,54e-10 anos-1}

Etapa 3.Calcule a idade da Terra.

A razão atual das abundâncias é N235/N238=0,72/99,28=7,25⋅10−3N_{235}/N_{238} = 0,72/99,28 = \pu{7,25e-3}. Isolando o tempo, t=ln⁡ ⁣(N238/N235)λ235−λ238=ln⁡ ⁣(1/7,25⋅10−3)8,26⋅10−10 anos−1=≈6⋅109 anos t = \frac{\ln\!\big(N_{238}/N_{235}\big)}{\lambda_{235} - \lambda_{238}} = \frac{\ln\!\big(1/\pu{7,25e-3}\big)}{\pu{8,26e-10 anos-1}} = \boxed{\approx\pu{6e9 anos}}