Problema 2K.18

O potássio-40 segue dois caminhos de decaimento. Apenas a captura eletrônica produz argônio-40, que se acumula na rocha. Relacionando a quantidade de argônio acumulada com a fração do decaimento que segue esse caminho, obtém-se a quantidade total de potássio que já decaiu e, daí, a idade.

No decaimento $\beta^-$, forma-se cálcio-40; na captura eletrônica, forma-se argônio-40: $$\begin{aligned} \ce{ ^{40}_{19}K &-> ^{40}_{20}Ca + ^{0}_{-1}e } \\ \ce{ ^{40}_{19}K + ^{0}_{-1}e &-> ^{40}_{18}Ar } \end{aligned}$$

Como $\ce{^{40}Ar}$ e $\ce{^{40}K}$ têm a mesma massa molar, a razão mássica iguala a razão entre quantidades de matéria: $n_{\ce{Ar}}/n_{\ce{K}} = 0,95$.

Todo o argônio provém da captura eletrônica, responsável por $\pu{10,7 \%}$ do potássio que decaiu. Sendo $n_0$ a quantidade inicial e $n_{\ce{K}}$ a remanescente, $$n_{\ce{Ar}} = 0,107\,(n_0 - n_{\ce{K}})$$ Dividindo por $n_{\ce{K}}$ e usando $n_{\ce{Ar}}/n_{\ce{K}} = 0,95$, $$0,95 = 0,107\left(\frac{n_0}{n_{\ce{K}}} - 1\right) \implies \frac{n_0}{n_{\ce{K}}} = 1 + \frac{0,95}{0,107} = 9,88$$ Da lei de decaimento, $$t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\!\frac{n_0}{n_{\ce{K}}} = \frac{\pu{1,27e9 anos}}{\ln 2}\,\ln(9,88) = \boxed{\approx\pu{4,2e9 anos}}$$