Problema 2K.17

O rubídio-87 transforma-se em estrôncio-87, de mesmo número de massa, o que caracteriza um decaimento $\beta^-$. Como todo o estrôncio veio desse decaimento, a quantidade inicial de rubídio é a soma do rubídio remanescente com o estrôncio formado.

Na passagem de $\ce{^{87}_{37}Rb}$ a $\ce{^{87}_{38}Sr}$, o número de massa se mantém e o número atômico aumenta uma unidade — emissão $\beta^-$: $$\ce{ ^{87}_{37}Rb -> ^{87}_{38}Sr + ^{0}_{-1}e }$$

Como $\ce{^{87}Rb}$ e $\ce{^{87}Sr}$ têm a mesma massa molar, a razão entre quantidades de matéria iguala a razão entre as massas: $$\frac{n_{\ce{Sr}}}{n_{\ce{Rb}}} = \frac{\pu{3,1 \mu g}}{\pu{109,7 \mu g}} = 0,0283$$ A quantidade inicial de rubídio é $n_0 = n_{\ce{Rb}} + n_{\ce{Sr}}$, de modo que $$\frac{n_0}{n_{\ce{Rb}}} = 1 + 0,0283 = 1,0283$$ Da lei de decaimento, $$t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\!\frac{n_0}{n_{\ce{Rb}}} = \frac{\pu{4,70e10 anos}}{\ln 2}\,\ln(1,0283) = \boxed{\approx\pu{1,9e9 anos}}$$