Uma rocha contém 0,688 g\pu{0,688 g} de chumbo-206 para cada grama de urânio-238. A massa de chumbo-206 no instante de formação da rocha é desprezível.

Assinale a alternativa que mais se aproxima da idade da rocha.

DadosX238X22238U\ce{^{238}U}
t1/2/anost_{1/2}/\pu{anos}4,50⋅109\pu{4,50e9}
Gabarito
Gabarito

Todo o chumbo-206 presente provém do decaimento do urânio-238. A quantidade inicial de urânio é, portanto, a soma do urânio que resta com a que já se converteu em chumbo. A razão entre o urânio remanescente e o inicial fornece a idade.

Etapa 1.Calcule as quantidades de matéria.

Para cada grama de urânio-238 e 0,688 g\pu{0,688 g} de chumbo-206, nU=1 g238 gmol=4,20⋅10−3 molnPb=0,688 g206 gmol=3,34⋅10−3 mol n_{\ce{U}} = \frac{\pu{1 g}}{\pu{238 g//mol}} = \pu{4,20e-3 mol} \qquad n_{\ce{Pb}} = \frac{\pu{0,688 g}}{\pu{206 g//mol}} = \pu{3,34e-3 mol}

Etapa 2.Determine a fração de urânio remanescente.

Como cada núcleo de chumbo-206 veio de um núcleo de urânio-238, a quantidade inicial de urânio é n0=nU+nPb=7,54⋅10−3 moln_0 = n_{\ce{U}} + n_{\ce{Pb}} = \pu{7,54e-3 mol}. Logo, nUn0=4,20⋅10−3 mol7,54⋅10−3 mol=0,557 \frac{n_{\ce{U}}}{n_0} = \frac{\pu{4,20e-3 mol}}{\pu{7,54e-3 mol}} = 0,557

Etapa 3.Calcule a idade da rocha.

Da lei de decaimento, t=t1/2ln⁡2 ln⁡ ⁣n0nU=4,50⋅109 anosln⁡2 ln⁡ ⁣10,557=≈4⋅109 anos t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2}\,\ln\!\frac{n_0}{n_{\ce{U}}} = \frac{\pu{4,50e9 anos}}{\ln 2}\,\ln\!\frac{1}{0,557} = \boxed{\approx\pu{4e9 anos}} O valor obtido corresponde à alternativa A.