O oxigênio-15, um isótopo radioativo, é utilizado na tomografia por emissão de pósitrons para avaliar a perfusão sanguínea e o consumo de oxigênio em distintas regiões do cérebro. Sabe-se que uma amostra com 7,5 g\pu{7,5 g} desse isótopo radioativo produz 1⋅1023\pu{1e23} emissões de radiação por minuto.

Determine o tempo para que essa amostra passe a produzir 2,5⋅1022\pu{2,5e22} emissões por minuto.

Gabarito
Gabarito

A taxa de emissões é a atividade da amostra, proporcional ao número de núcleos radioativos: A=λNA = \lambda N. A estratégia é obter a constante de decaimento a partir da atividade inicial e do número inicial de núcleos e, em seguida, calcular o tempo necessário para a atividade cair ao valor pedido.

Etapa 1.Calcule o número inicial de núcleos.

Com massa molar do oxigênio-15 igual a 15 gmol\pu{15 g//mol}, N0=7,5 g15 gmol×6,0⋅1023 mol−1=3,0⋅1023 N_0 = \frac{\pu{7,5 g}}{\pu{15 g//mol}}\times\pu{6,0e23 mol-1} = \pu{3,0e23}

Etapa 2.Calcule a constante de decaimento.

Da relação A0=λN0A_0 = \lambda N_0, λ=A0N0=1⋅1023 min−13,0⋅1023=0,333 min−1 \lambda = \frac{A_0}{N_0} = \frac{\pu{1e23 min-1}}{\pu{3,0e23}} = \pu{0,333 min-1}

Etapa 3.Calcule o tempo pedido.

Como a atividade é proporcional ao número de núcleos, A=A0 e−λtA = A_0\,\mathrm{e}^{-\lambda t}. A atividade deve cair de 1⋅1023 min−1\pu{1e23 min-1} para 2,5⋅1022 min−1\pu{2,5e22 min-1}, isto é, à quarta parte do valor inicial: AA0=14=e−λt  ⟹  t=ln⁡4λ=1,3860,333 min−1=4,2 min \frac{A}{A_0} = \frac{1}{4} = \mathrm{e}^{-\lambda t} \implies t = \frac{\ln 4}{\lambda} = \frac{1,386}{\pu{0,333 min-1}} = \boxed{\pu{4,2 min}}