Os adeptos do ramo da medicina alternativa conhecida como homeopatia afirmam que soluções muito diluídas de certas substâncias têm efeito terapêutico. Para explorar essa questão, suponha que você preparou uma solução supostamente ativa, X\ce{X}, com concentração molar de 0,1 mol ⋅ L−1\pu{0,1 mol.L-1}. Dilua 10 mL\pu{10 mL} dessa solução dobrando o volume, dobrando novamente, e assim por diante, 9090 vezes.

  1. Determine quantas moléculas de X\ce{X} estarão presentes em 10 mL\pu{10 mL} da solução final.

  2. Determine o número mínimo de diluições sucessivas por fator 1010 da solução original para que reste menos de uma molécula de X\ce{X} em 10 mL\pu{10 mL} da solução.

Gabarito
Gabarito

A cada diluição por fator 22, o volume dobra e a concentração cai à metade. Após nn diluições, a concentração é c0/2nc_0/2^n.

Etapa 1.(a) Calcule a concentração após 90 diluições.

cf=0,1 mol ⋅ L−1290 c_f = \dfrac{ \pu{0,1 mol.L-1} }{ 2^{90} }

Etapa 2.Calcule o número de moléculas em 10 mL\pu{10 mL} da solução final.

De N=cNAV,N = c N_\mathrm{A} V, N=0,1 mol ⋅ L−1290×(6⋅1023 mol−1)×(10⋅10−3 L)≈4,8⋅10−7 N = \dfrac{ \pu{0,1 mol.L-1} }{ 2^{90} } \times (\pu{6e23 mol-1}) \times (\pu{10e-3 L}) \approx \pu{4,8e-7}

Como N≪1N \ll 1, não resta nenhuma molécula de X\ce{X} na solução final.

Etapa 3.(b) Calcule o número de moléculas após nn diluições por fator 1010.

Quando a diluição é feita com fator 1010, a concentração após nn diluições é c0/10nc_0/10^n. O número de moléculas em 10 mL\pu{10 mL} é: N=0,1 mol ⋅ L−110n×(6⋅1023 mol−1)×(10⋅10−3 L)=6×1020−n N = \dfrac{ \pu{0,1 mol.L-1} }{ 10^n } \times (\pu{6e23 mol-1}) \times (\pu{10e-3 L}) = 6 \times 10^{20-n}

Etapa 4.Determine o menor nn para que reste menos de uma molécula.

6×1020−n<1  ⟹  n>20+log⁡6≈20,78 6 \times 10^{20-n} < 1 \implies n > 20 + \log 6 \approx 20{,}78

Portanto, são necessárias n=21\boxed{n = 21} diluições.